Lo que no te dijeron sobre Coordenadas Polares

Sin querer en momentos los profesores por querer dar lo mejor de sí mismos olvidan, que la mejor herramienta para enseñar es hablar en términos elementales y gradualmente introducir los términos matemáticos, de manera que el estudiante generalice las técnicas, las apropie y luego, las domine como un ingeniero. El proceso del aprendizaje matemático es complejo, por ello se requiere que los profesores hablen desde lo cotidiano a lo profesional.

Esta entrada es inspirada en mi profesora, que olvidó decirnos ciertos datos básicos pero muy importantes para el dominio de las coordenadas polares. Empecemos:

Respecto a las transformaciones de coordenadas polares a coordenadas rectángulares: "las curvas no cambian, cambia es la ecuación" al coincidir los dos sistemas estamos siempre hablando de la misma curva. Lo que es una circunferencia, lo será en ambas coordenadas y así, con todas las curvas. Sí nos dan una curva y no la identificamos a simple vista, tenemos como herramienta el cambio de coordenadas para saber qué tipo de curva estamos estudiando.

Por otra parte, si tenemos una curva escrita en forma polar y el objetivo es llevarla a la forma rectangular, en ocasiones será conveniente dos cosas: simplificar la ecuación (ej. una lemniscata con r al cuadrado, pasar la raíz y dejar a r sola.) y tener siempre las fórmulas en mente, de manera que la transformación sea como un juego cuyas piezas encajan perfectamente.

Una curiosidad: si tenemos una circunferencia ejemplo: r = 2sen(t) y le damos valores al tercer y cuarto cuadrante ¿qué piensan que puede ocurrir? pues se le da la vuelta nuevamente a la circunferencia, puesto que los valores negativos se grafican en la extensión del ángulo, por lo que no influye gráficamente si buscamos valores fuera del dominio de la curva.

Sobre las curvas conocidas: la principal diferencia entre una recta y una circunferencia es que la constante  de la circunferencia la contiene r y en la recta la constante la contiene tita. Entre una lemniscata y una rosa: la r de la lemniscata está elevada al cuadrado y la de la rosa no. En la fórmula de la rosa encontramos a r = sen(nt) si n es impar tiene n pétalos, pero si n es par tiene 2n pétalos (ambas condiciones aplican para el coseno).

Con respecto al estudio de la leimniscata, la parte mas fuerte es encontrar su dominio. Se debe observar entre cuáles valores se mueve el seno o coseno y sí el ángulo está multiplicado sumarle los dos pi por cada vuelta, dividir entre el ángulo con el método de la doble c.   

En cuánto a las tangentes: su procedimiento es: 1) hacer r igual 0, 2)despejar tita, 3) sustituir el valor de tita en r prima (es decir derivar r) 4) si r prima de tita es igual a cero, tita no es tangente en el polo. Para que tita sea una tangente en el polo debe ser distinta de cero. Existirán casos donde la derivada no existe para la tita tomada, allí se dice que el criterio no se puede aplicar; no se afirma o niega la existencia de la tangente. De igual manera cuando el resultado es infinito.  Los cardioides no tienen tangentes. 

Tangentes en el polo quiere decir que pasan por el polo pero jamás cortan la curva; por eso no existen en un limazón convexo. En el cardioide no existen porque su forma es muy ceñida. Las tangentes toman la función similar a las de las asíntotas (una forma de entenderlo). 

Bueno! espero estos datos ayuden a interpretar las gráficas y el estudio de las coordenadas polares! Éxitos!

Comentarios

  1. Por qué siento que viste clases con la Prof. Dilcia Pérez? Jajaja, veo clases con ella y estoy buscando información sobre las tangentes (sobre todo del cardiode y lemniscata, que son los que me han dado problemas) y me topo con este blog que habla del DCyT y da estos tips tan precisos que sólo puedo pensar que viste clases con ella. Un abrazo! Y agradecido infinitamente por esto :)

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