Coordenadas Polares: Caracol con Rizo conjunto a Caracol con Hendidura + Gráfica

El estudio de coordenadas polares se torna interesante cuando se realiza el estudio de dos curvas interceptadas entre sí; la dificultad varía dependiendo a las gráficas tomadas para interceptar. En esta ocasión tomaremos un ejemplo sencillo, ya que el objetivo es describir paso a paso cómo se realiza el estudio de una curva. 

Las presentes gráficas corresponden a:
r = 3 + 2 cos(t)
r = 2 - 4sen(t)

El estudio de cada gráfica se realiza en 7 pasos, y existe un paso en común que lo llamaremos paso 8. Este paso 8 se realiza una sola vez, mas adelante verán porqué. Vamos a describir los pasos:

Paso 1: identificar la curva: acá dividimos a entre b para saber a cuál curva pertenece la ecuación planteada.

Paso 2: Identificar los valores de tita para los cuales r está definida: esto se refiere al dominio (decimos dominio porque es un término conocido y sabemos como obtenerlo) de la gráfica. La lemniscata es la única gráfica donde buscar su dominio se realiza mediante cálculos; para las demás curvas r está definida para toda tita. 

Paso 3: simetría: (de acuerdo a los lineamientos de su profesor) se puede realizar de dos maneras: gráficamente: es luego de haber realizado la gráfica observar su comportamiento ó mediante fórmulas. En los ejemplos acá propuestos todas las respuestas serán tomadas gráficamente.

Paso 4: identificar las intercepciones con los ejes y sus extensiones: es hacer tita = 0, pi, pi medio, 3 pi medio, los valores obtenidos son los puntos donde la gráfica intercepta a los ejes. 

Paso 5: Verificar que el polo pertenece a la curva: se hace r = 0 y si obtenemos un valor que existe, entonces podemos afirmar que el polo pertenece a la curva. De lo contrario, decimos que el polo no pertenece a la curva. El caracol con hendidura es una muestra de que el polo no pertenece a la curva.

Paso 6: Tangentes en el polo: los valores obtenidos en el paso anterior los evaluamos en la derivada de la curva, si se obtiene un resultado diferente de cero, quiere decir que si son tangentes en el polo. 

Paso 7: tabla de valores: es recopilar los valores para hacer  la gráfica.

Hasta acá estos 7 pasos se le realiza a cada curva. Ahora el paso 8 se llama intercepción con la curva, por ello se realiza una única vez, ya que el resultado será el mismo. Realizamos un sistema para ver dónde las dos curvas se interceptan. Es posible que necesitemos realizar la regla de tres para saber los valores en grados. 

Veamos el estudio realizado para la gráfica:


En el paso 1 hemos concluido que la curva es un limazón con rizo; es lo mismo que decir caracol con rizo. 
En el paso 2 está mal redactado: se dice: identificar los valores de r para los cuales tita está definida. 

Seguramente se preguntarán, porqué he dejado ese error; y aquí viene mi comentario: a menudo creen que los mejores estudiantes de cálculo saben todo y jamás se equivocan, por el contrario todo lo que se aprende es dado a los errores que cometemos en nuestros estudios, lo importante es "NO BORRAR" los errores que cometemos, puesto que solo así nos damos cuenta del patrón que estamos siguiendo y podemos superarlo. Si tenemos problemas en un ejercicio con los signos, remarca dónde te has equivocado y comienza de nuevo, de manera que al terminar puedas verificar si el error que cometías ya está superado. Al final del semestre, verás todos tus progresos y sentirás que has superado muchas mas pruebas de las que imaginabas. Igual puedes hacer comentarios cuando no te da un ejercicio, "se hace con esta fórmula", "aquí debería dar x", "se podía simplificar"; ya que estos comentarios son "razonamientos" y es básico para podernos defender ante cualquier ejercicio, por ello es esencial hacerlos con disciplina y constancia.




En este paso he cometido un error muy común entre los estudiantes: la conclusión. He concluido que tita es el resultado de la derivada evaluada en pi sexto y en cinco pi sexto, lo cual es errado, la verdadera conclusión es que pi sexto y cinco pi sexto son los valores de tita los cuales son tangentes en el polo. Evidentemente en la tabla de valores se deben eliminar. 


Hemos interceptado las dos curvas y observamos que el valor 39,48º no es intercepción en la gráfica, por lo tanto solo 166,35º es un valor real, ¿por qué sucede? esto pasa porque en las operaciones hemos elevado al cuadrado y hace que tengamos dos alternativas. Está en nosotros decir cuál es la que hemos tomado. Por otra parte, verán que en el cuarto cuadrante no está el valor de dicha intercepción; este se obtiene con la siguiente fórmula: 2pi - tita. En este caso, tomamos tita = 166pi/180 y realizamos la operación, verán que así obtendrán el valor faltante.  

El estudio de la otra curva lo dejo para que puedan practicar! 
Espero sean útiles mis consejos! Y tengas muchos éxitos!






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Comentarios

  1. Gracias justo tengo que eexpone el mismo solo que consigno positivo

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