Análisis Numérico: Teoría de la Interpolación

El problema general de la interpolación se presenta cuando existe una función de la cual solo se conocen una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se necesita encontrar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

El de la extrapolación cuando el punto que se busca está a la derecha de xn o a la izquierda de xo.

Se necesita, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que sea útil para estimar los valores deseados.

El tratamiento para ambos problemas es similar; se utilizarán los polinomios “interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.

Método de interpolación en avance de Gregory Newton

Sea  el polinomio que interpola a f(x) en los puntos , y  el polinomio que interpola a  f(x)  en . La diferencia entre ambos es un polinomio de grado no mayor que n, que se anula para , ya que en dichos puntos , y en consecuencia: 
obteniéndose:
 
dando a  x  el valor , por ser  , se tiene: 
  
como se puede llamar , construyéndose a partir de la fórmula anterior . Obtenemos, por tanto, la expresión del polinomio de interpolación siguiente: 
 

Por convenio se llama diferencia dividida a la expresión: 
siendo:

La Fórmula de Newton, por tanto, sería:
que recibe el nombre de fórmula de Newton del polinomio de interpolación.

El cálculo de las diferencias divididas se realizaría así: 
por simetría:

Por tanto, tendríamos las diferencias divididas siguientes:




Fórmula de Gauss para el polinomio de interpolación usando diferencias finitas


Para definir las diferencias finitas, consideramos una función f(x) de una sucesión de valores de x equidistantes entre sí, esto es: donde
siendo:

Se llama diferencia progresiva de f(x) en a: 
 
la segunda diferencia progresiva, será: 
 
en general:
que se llama diferencia progresiva de orden n 


Así, se puede construir una tabla con las diferencias progresivas de órdenes sucesivos de la forma siguiente:

El polinomio de interpolación usando diferencias finitas sería: 
que reciben el nombre de fórmulas de Newton progresivas.

Interpolación de Hermite
  1. Se exige que la curva (polinomio) pase por una serie de puntos y además tenga una serie de valores de la derivada en cada punto
  2. Se usa método de diferencias divididas de Newton, repitiendo cada punto y tomando como primera diferencia dividida para los puntos repetidos (debería ser 0/0) el valor dado de la derivada en ese punto.
Interpolación de Splines

La interpolación polinomial tiene el inconveniente de que el polinomio interpolador puede oscilar fuertemente entre los puntos interpolados, como hemos visto en el apartado anterior. Para muchas aplicaciones prácticas interesa un algoritmo que proporcione una función interpoladora que se comporte suavemente. El modelo más sencillo es una interpolación lineal a tramos, constituida por rectas que unen los puntos interpolados. Sin embargo, este tipo de aproximación tiene una derivada discontinua en lo puntos de interpolación. Para muchas aplicaciones prácticas, en las que se incluyen la resolución de ecuaciones diferenciales en las que intervienen funciones medidas experimentalmente, interesa una función aproximadora que tenga derivadas continuas hasta un orden dado, aparte de ser continua. El método de splines se basa en encontrar funciones que cumplan estas características.

Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.

Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que . Supongamos además que se ha fijado un entero . Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en es una función S que satisface las condiciones:



·         En cada intervalo S es un polinomio de grado menor o igual a k.

·         S tiene una derivada de orden (k-1) continua en .





Funciones Splines de Grado 0


Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:


Los intervalos (ti-1,ti) ó (xi-1,xi) no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en los nodos.



Funciones Splines de Grado 1


Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta.

Dados los n+1 puntos:



Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:



Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:



Donde:

1. sj(x) es un polinomio de grado menor o igual que 1

2. s(x) tiene derivada continua de orden k-1=0.

3. s(xj)=yj, para j=0,1,2,...,n


Por lo tanto, el spline de grado 1 queda definido como:




Donde f[xi,xj] es la diferencia dividida de Newton.


Función con Splines de Grado 2


Los splines de orden dos, se encargan de unir cada par coordenado con ecuaciones polinomiales de orden dos. Las ecuaciones son de la forma

ax + bx + c


Funciones con Splines Cúbicos


El spline cúbico (k=3) es el método más empleado como se ha mencionado anteriormente, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo.



Sobre cada intervalo , S está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo, por tanto:


Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple:



Por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico.


Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline.

Interpolación de Lagrange


Un polinomio de interpolación de Lagrange, p, se define en la forma:
 \begin{displaymath}p(x) = y_{0}\ell_{0}(x) + y_{1}\ell_{1}(x) + \cdots +
y_{n}\ell_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} y_{k}\ell_{k}(x)
\end{displaymath}

en donde $\ell_{0}, \ell_{1}, \dots, \ell_{n}$ son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$, pero no de las ordenadas $y_{0},y_{1},\dots,y_{n}$. La fórmula general del polinomio $\ell_{i}$ es:
 \begin{displaymath}\ell_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}
\end{displaymath}

Para el conjunto de nodos $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange

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